נולד בשנת 1871 בעיר יאנינה (Ionnina) יוון, גדל בוולוס (Volos), בן למשפחה אמידה ופעילה בקהילה היהודית בעיר. למד רפואה באוניברסיטה בפריס, חזר לוולוס ושם היה לרופא מוכר ועסקן ציבורי. כשהיה בן 30 התחתן עם רוזה ממשפחת כהן מטרקלה. מתוך הכרת טובה על פעילותו נבחר כחבר במועצת העיר, בה שרת בין השנים 1914-1907. במלחמת הבלקן (1913-1912) התמסר לסיוע משפחות הקורבנות והנפגעים. מלבד הגשת עזרה ראשונה אף קידם במרץ את הקמתם של בית יולדות ובית תינוקות.
ב- 1915 נבחר לבית הנבחרים היווני מטעם העיר סלוניקי, שם כיהן כ-4 שנים. בתקופת כהונתו כציר בפרלמנט עורר את שאלת הבית הלאומי העברי, ובהשתדלותו הושגה הצהרתו החגיגית של שר החוץ ומנהיג המדינה פוליטיס, שהביעה את אהדת הממשלה היוונית להצהרת בלפור.
בזמן המגפות ב-1918 הגיש עזרה רפואית וכתב מאמרים בעיתונות המקומית והזרה, רבים מהם עוסקים בצורך שראה בשיקום מהגרים ובייבוש הביצות.
עבד בשיתוף פעולה עם אישים בעיריית Pagaon והיה המתאם לחיסונים ושיכון המהגרים מאסיה הקטנה. במקביל, השיג עזרה משגריר ארצות הברית בקונסטנטינופול (מצרכים וכסף) עבור הפליטים, בעיקר עבור פליטי יוון. עבור פעולות הסיוע שביצע קיבל אות הצטיינות מממשלות יוון וצרפת.
קופינאס היה מראשי התנועה הציונית ביוון והשתתף בקונגרסים הציוניים הראשונים. בשנת 1908 אף ביקר בארץ ישראל בלוית אשתו. חשיבות רבה לקונגרס שהתקיים בסלוניקי זמן לא רב לאחר הצהרת בלפור, בו נתקבלו שתי החלטות חשובות: הקמת פדרציה ציונית ביוון, שבראשה עמד משה קופינאס, והקמת לגיון יהודי שיאומן ע"י הצבא היווני ויישלח לארץ ישראל להלחם עם צבאו של אלנבי. ההחלטה האחרונה לא התממשה מפאת סיום המלחמה וכניעת העות'מאנים.
קופינאס הגה את הרעיון של ייסוד מושבה על ידי עולים מיוון בארץ ישראל, והקדיש לכך מאמצים רבים. הוא הצליח לאסוף 5,000 לירות לשם כך, ולאחר מותו ממשיכיו בפדרציה הציונית בסלוניקי אספו עוד 5,000 לירות.
ב- כ' בניסן תרפ"ד (24.4.1924) נפטר עקב מחלה קשה, והוא בן 53.
בלוויה השתתפו מכובדים רבים, דיפלומטים ונציגי קהילות יוון. משה ורוזה קופינאס לא השאירו אחריהם צאצאים.
חלומו של קופינאס התגשם כ-13 שנים לאחר מותו. המושב "צור משה" קרוי על שמו, ולזכרו. מבצעי צוואתו – דוד פלורנטין, יוסף עוזיאל, ליאון רקנאטי ומשה קרסו – העלו את עצמותיו לארץ ישראל והוא נקבר בבית הקברות הישן ברח' טרומפלדור בתל-אביב, בכ"ד באדר תרצ"ג
בשנת 2003 מועצת העיר וולוס ביוון קראה לאחד מרחובותיה על שם ד"ר משה קופינאס ובכך כיבדה והנציחה את זכרו.
